Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem

The aim of this paper is to show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are commuting B-Fredholm operators acting on a Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ST</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a B-Fredholm operator and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i n d left-parenthesis upper S upper T right-parenthesis equals i n d left-parenthesis upper S right-parenthesis plus i n d left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ind(ST)=ind(S)+ind(T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i n d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ind</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> means the index. Moreover if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a B-Fredholm operator and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite rank operator, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T plus upper F"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T+F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a B-Fredholm operator and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i n d left-parenthesis upper T plus upper F right-parenthesis equals i n d left-parenthesis upper T right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ind(T+F)= ind(T).</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> We also show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is isolated in the spectrum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a B-Fredholm operator of index <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if and only if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi>