On the fractional Lane-Emden equation

We classify solutions of finite Morse index of the fractional Lane-Emden equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s Baseline u equals StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p minus 1 Baseline u in double-struck upper R Superscript n Baseline period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mrow> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mtext>.</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(-\Delta )^{s} u = \vert u\vert ^{p-1} u\;\; \text {in $\mathbb {R}^n$.}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula>