Interpolation theorems for the pairs of spaces (𝐿^{𝑝},𝐿^{∞}) and (𝐿¹,𝐿^{𝑞})

A Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the interpolation property with respect to the pair <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma upper Y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X,Y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, which is a bounded linear operator from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Y"> <mml:semantics> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Y"> <mml:semantics> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, can be extended to a bounded linear operator from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X equals upper L Superscript p Baseline comma upper Y equals upper L Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X = {L^p},Y = {L^\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we give a necessary and sufficient condition for a Banach function space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 0 comma l right-parenthesis comma 0 greater-than l less-than-over-equals plus normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(0,l),0 &gt; l \leqq + \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, to have this property. The condition is that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g precedes Superscript p Baseline f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≺<!-- ≺ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g \prec {}^pf</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f \in Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> should imply <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g element-of upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g \in Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g precedes Superscript p Baseline f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≺<!-- ≺ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g \prec {}^pf</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> means that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g Superscript asterisk p Baseline precedes f Superscript asterisk p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>≺<!-- ≺ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{g^{ \ast p}} \prec {f^{ \ast p}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the Hardy-Littlewood-Pólya sense, while <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{h^ \ast }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the decreasing rearrangement of the function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue h EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|h|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If the norms <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue upper T StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript upper X Baseline comma StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue upper T StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript upper Y Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow clas