LCM-splitting sets in some ring extensions

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a saturated multiplicative set of an integral domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Call <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> an lcm splitting set if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d upper D Subscript upper S intersection upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dD_{S}\cap D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d upper D intersection s upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dD\cap sD</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are principal ideals for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d element-of upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\in D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\in S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R_{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -stable overring of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (that is, if whenever <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a comma b element-of upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a,b\in D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a upper D intersection b upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">aD\cap bD</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is principal, it follows that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis a upper D intersection b upper D right-parenthesis upper R equals a upper R intersection b upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(aD\cap bD)R=aR\cap bR)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> <