Existence and uniqueness results on Single-Peaked solutions of a semilinear problem

A one to one correspondence is established between the nondegenerate critical points of Q(x) in Ω and single peaked solutions of the problem \begin{cases} - \epsilon^{2}\Delta u + u = Q\left(x\right)u^{p - 1} & \text{in }\Omega \\ u > 0& \text{in }\Omega \text{ and }\\ u = 0 & \text{on }\partial \Omega \end{cases} where Ω is a bounded domain, 2 < p < (N + 2)/(N - 2) , \epsilon > 0 , and Q(x) \in C(\overline \Omega) \cap C^{2}(\Omega) . In particular, we establish the uniqueness of the least energy solution when Q(x) attains its maximum in \overline \Omega at only one nondegenerate critical point in Ω . Résumé On établit une correspondance biunivoque entre les points critiques non-dégénérés de Q(x) en ω , et les solutions à un seul pic du problème \begin{cases} - \epsilon^{2}\Delta u + u = Q\left(x\right)u^{p - 1} & \text{in }\Omega \\ u > 0& \text{in }\Omega \text{ and }\\ u = 0 & \text{on }\partial \Omega \end{cases} où Ω est un domaine borné, 2 < p < (N + 2)/(N - 2) , \epsilon > 0 , et Q(x) \in C(\overline \Omega) \cap C^{2}(\Omega) . En particulier, nous démontrons l’unicité de la solution de moindre énergie lorsque Q(x) achève son maximum dans Ω en un seul point critique non-dégénéré.