A normal form for elliptic curves

The normal form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x squared plus y squared equals a squared plus a squared x squared y squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^2 + y^2 = a^2 + a^2x^2y^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for elliptic curves simplifies formulas in the theory of elliptic curves and functions. Its principal advantage is that it allows the <italic>addition law,</italic> the group law on the elliptic curve, to be stated explicitly <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X equals StartFraction 1 Over a EndFraction dot StartFraction x y Superscript prime Baseline plus x prime y Over 1 plus x y x prime y Superscript prime Baseline EndFraction comma upper Y equals StartFraction 1 Over a EndFraction dot StartFraction y y Superscript prime Baseline minus x x Superscript prime Baseline Over 1 minus x y x prime y Superscript prime Baseline EndFraction period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X = \frac 1a \cdot \frac {xy’ + x’y}{1 + xyx’y’}, \quad Y = \frac 1a \cdot \frac {yy’ - xx’}{1 - xyx’y’}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> The <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j"> <mml:semantics> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -invariant of an elliptic curve determines 24 values of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which the curve is equivalent to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x squared plus y squared equals a squared plus a squared x squared y squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^2 + y^2 = a^2 + a^2x^2y^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , namely, the roots of <inline-formula content-type="math/mathml">