An optimal Poincaré inequality in 𝐿¹ for convex domains

For convex domains <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega subset-of double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \subset \mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with diameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we prove <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript 1 Subscript left-parenthesis omega right-parenthesis Baseline less-than-or-equal-to StartFraction d Over 2 EndFraction double-vertical-bar nabla u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript 1 Subscript left-parenthesis omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|u\|_{L^1(\omega )} \le \frac {d}{2} \|\nabla u\|_{L^1(\omega )}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with zero mean value on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega"> <mml:semantics> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We also show that the constant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in this inequality is optimal.