New criteria for univalent functions

The classes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> regular in the unit disc <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper U"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {U}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 0 comma f prime left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(0) = 0,f’(0) = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R e left-bracket left-parenthesis z Superscript n Baseline f right-parenthesis Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline slash left-parenthesis z Superscript n minus 1 Baseline f right-parenthesis Superscript left-parenthesis n right-parenthesis Baseline right-bracket greater-than left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Re} [{({z^n}f)^{(n + 1)}}/{({z^{n - 1}}f)^{(n)}}] &gt; (n + 1)/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper U"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">U</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {U}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are considered and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n plus 1 Baseline subset-of upper K Subscript n Baseline comma n equals 0 comma 1 comma midline-horizontal-ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_{n + 1}} \subset {K_n},n = 0,1, \cdots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is proved. Since <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the class of functions starlike of order 1/2 all functions in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are univalent. Some coefficient estimates are given and special elements of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are determined.