Sur les fonctions absolument monotones

Introduction.Les fonctions absolument monotones jouent le m~me rble fondamental duns la th6orie des fonctions analytiques d'une variable r6elle que les fonctions (simplement) monotones pour la classe g6n6rale des fonctions £ variation born6e.~ I1 semble doric qu'une dtude syst6matique des propri6t6s des fonctions absolument monotones est indispensable pour bien p6n6trer t~ nature des fonctions ~nalytiques r6eiles.Le pr6sent M6moire a pour but de contribuer £ cette 6rude.En ~tablissant des in~gMit~s g6n6rMes auxquelles satisfont les fonctions absolument monotones sur un segment limit6 ou infini, i'M 6tudi6 surtout, quel est le segment maximum, off une fonction, prenant avec un nombre fini ou infini de ses d6riv6es successives des valeurs donn6es en un point, peut rester absolument monotone, et d'autre part, dans quels cas ces donn6es suffisent pour la d6terminer compl~tement.Cette 6rude est naturellement li6e £ la th6orie des s6ries divergentes, et, comme consequence partieuli~re, nous en d6duisons une nouvelle mdthode, ind6pendante des fractions continues, pour r6soudre le probl~me g6ndral des moments.~ 1 S. BERNSTEIN, ,Le~,ons su~" les propridtgs extrdmales etc., (Collection de Monographies publide sons la direction de M. E. Borel), Premiere Note (pp.I93--I97).Je rappel!erai que la thdorie classiquc des moments de Stieltjes a dt5 compl~tde recemnlent par M. H. HAMBURGER, ,Stieltjessches Momentenproblem,,Math.Ann.Bd. 8~ (235--315) , Bd. 82 (I 2o--I64) et M. T. CARLEM)~, "Sur les dquations int~qrales singuli~res it noyaux rdel et symdtrique; je signalerai aussi lcs M~moires de M. HAUSDORFF ,Summalionsmethoden und Momentfolgen,; Math.Zeitschrift Bd. 9 et ,Momentproblem fi~r endlicl~es Intervall, (dont j'ai pris connaissance pendant la r6daction de ce travail) qui aborde le probleme des monlents par des m6thodes prg, sentant certaines analogies avec les miennes.1-~822.Acta math*matica.52. Imprlm6 le 27 f6vrier 1928.Sur les fonctions absolument monotones.PREMIER CHAPITRE.Ba--(x--I)! --Cx-I(X'-I) n-1 + Cu--I(X--2) n-i .... ],(5) eomme on s'en assure, en remarquant que d n X p d log x '~ --pn ~V.Ceci pos6, nous uvons la proposition suivante: P Thdor~mo I. Si f(o),f (o),...,f(~)(o) sont les d&iv&s d'une fonctlon absolument monotone sur le segment (--c, o), on a f(o), dlog c~, ..: [.i-io~c2-h] >--o, dlogg c '''" el log 6 2h+l -quel que soit h.Sur les fonctions absolument monotones.En effet, par hypo~h~se, on a un ddveloppement g coefficients non ndgatifs f(x)=a o+aa(x+c)+.+a~(x+c) ~+... (7) !