Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes

I. Des fonctions convexes et concaves. Ddfinition. Exemples. Dans sa e~l~bre Analyse alg~brique (note IX, pp. 457--59) CAucHY dgmontre que ,Aa moyenne gdom6trique entre plusieurs nombres est toujours infdrieure h leur moyenne alg~brique,. La mdfhode employge par CAVCHY est extrgmement dldgante, et elle h passd sans changement dans tous los traitds d'analyse algdbrique. Elle eonsiste, comme on sait, en ceci, que, de l'in6galit6 --'(a+b), ~/~b < 2 oh a et b sont des nombres positifs, on est conduit ~t l'in6galitd analogue pour quatre hombres, savoir ~/.b~a < -' (a + b+ c + d), 4 et aux suivantes, pour 8, I6,..., 2 m nombres, apr~s quoi ee nombre, par un artifice, est r6duit ~ un hombre arbitraire inf6rieur, n. Cette m6thode simple a gt6 mon point de d6part dans les recherches suivantes, qui conduisent, par une voie en r6alit6 tr6s simple et 616mentaire, ~ des r6sultats 9 " imp generaux et non sans ort~nee. 1 Oonf6rence faite ~ la Soci6t6 math6matique danoise le x 7