Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Dans un espace <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une propriété de convergence par croissance, qui, pour certaines questions, est renforcée en une propriété du type de Harnack. Les fonctions surharmoniques sont alors définies comme dans le cas classique, à l’aide des domaines réguliers et de la solution du problème de Dirichlet correspondant. Soit <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> l’ensemble des fonctions surharmoniques <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> dans <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> ; on suppose qu’il existe au moins une fonction <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , non harmonique dans <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . Une première partie de ces recherches est centrée sur un théorème de partition, permettant de décomposer toute fonction <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> en deux autres, dont l’une est harmonique dans un ouvert <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> donné et l’autre harmonique dans le complémentaire de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> . Ce théorème est le point de départ de la représentation intégrale des fonctions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , que l’on effectue en appliquant la théorie de G. Choquet sur les représentations intégrales, dans les cônes convexes, à l’aide des points extrémaux. On définit, pour cela, une topologie sur <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , rendant ce cône métrisable et localement compact. Une autre partie de ces recherches définit et étudie, sous des hypothèses un peu plus restreintes, les fonctions harmoniques adjointes à un système donné de fonctions harmoniques, généralisant les solutions de l’équation adjointe à une équation aux dérivées partielles du second ordre, de type elliptique : <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Le dernier chapitre est consacré à l’étude des fonctions harmoniques, et harmoniques adjointes, associées à l’équation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .