On some inequalities for the incomplete gamma function

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p not-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\ne 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a positive real number. We determine all real numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha equals alpha left-parenthesis p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha = \alpha (p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta equals beta left-parenthesis p right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta =\beta (p)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the inequalities <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket 1 minus e Superscript minus beta x Super Superscript p Superscript Baseline right-bracket Superscript 1 slash p Baseline greater-than StartFraction 1 Over normal upper Gamma left-parenthesis 1 plus 1 slash p right-parenthesis EndFraction integral Subscript 0 Superscript x Baseline e Superscript minus t Super Superscript p Baseline d t greater-than left-bracket 1 minus e Superscript minus alpha x Super Superscript p Superscript Baseline right-bracket Superscript 1 slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[1-e^{-\beta x^p}]^{1/p}&gt; \frac 1{\Gamma (1+1/p)} \int ^x_0 e^{-t^p} \,dt &gt;[1-e^{-\alpha x^p}]^{1/p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> are valid for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. And, we determine all real numbers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b"> <mml:semantics> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus log left-parenthesis 1 minus e Superscript minus a x Baseline right-parenthesis less-than-or-equal-to integral Subscript x Superscript normal infinity Baseline StartFraction e Superscript negative t Baseline Over t EndFraction d t less-than-or-equal-to minus log left-parenthesis 1 minus e Superscript minus b x Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">-\log (1-e^{-ax})\le \int ^\infty _x \frac {e^{-t}}t\,dt\le -\log (1-e^{-bx})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> hold for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.