On the Cauchy problem and initial traces for a degenerate parabolic equation

We consider the Cauchy problem (f) <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column u Subscript t Baseline minus d i v left-parenthesis StartAbsoluteValue upper D u EndAbsoluteValue Superscript p minus 2 Baseline upper D u right-parenthesis equals 0 2nd Column a m p semicolon in bold upper R Superscript upper N Baseline times left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis comma p greater-than 2 comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis comma 2nd Column a m p semicolon x element-of bold upper R Superscript upper N Baseline comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {\begin {array}{*{20}{c}} {{u_t} - \operatorname {div}(|Du{|^{p - 2}}Du) = 0} \hfill &amp; {{\text {in}}\;{{\mathbf {R}}^N} \times (0,\infty ),p &gt; 2,} \hfill \\ {u(x,0) = {u_0}(x),} \hfill &amp; {x \in {{\mathbf {R}}^N},} \hfill \\ \end {array} } \right .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and discuss existence of solutions in some strip <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript upper T Baseline identical-to bold upper R Superscript upper N Baseline times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{S_T} \equiv {{\mathbf {R}}^N} \times (0,T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than upper T less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; T \leq \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, in terms of the behavior of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x right-arrow u 0 left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \to {u_0}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue right-arrow normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|x| \to \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The results obtained are optimal in the class of nonnegative locally bounded solutions, for which a Harnack-type inequality holds. Uniqueness is shown under the assumption that the initial values are taken in the sense of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript loc Superscript 1 Baseline left-parenthesis bold upper R Superscript upper N Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>loc</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mm