Espaces variationnels et mécanique

Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> et de vitesse <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> désignant l’espace-temps de configuration, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">V</mml:mi> </mml:math> l’espace fibré des vecteurs tangents, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> celui des directions tangentes à <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> , on caractérise <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> par son lagrangien homogène <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> et le tenseur-force <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé. Dans la première partie, on étudie l’algèbre <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:math> des formes semi-basiques sur <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">V</mml:mi> </mml:math> ou <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> ; on définit en particulier une antidérivation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , endomorphisme de degré 1 de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:math> , intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> -extrémale de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> relativement au champ tensoriel semi-basique <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> et on considère sur <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> une connexion linéaire de directions se ramenant pour <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> à la connexion finslérienne définie par <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> , et dont les géodésiques sont les <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> -extrémales de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> . Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme : <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> et <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> entourant un même tube de trajectoires <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi> </mml:math> est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi mathvariant="bold">T</mml:mi> </mml:math> de bord <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Les trajectoires de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> sont les <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math> -extrémales de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math>