Groupes réductifs non connexes

We develop a Deligne-Lusztig theory for thé complex characters of a non-connected reductive group over a finite field.RÉSUMÉ.-Nous développons une théorie de Deligne-Lustzig pour les caractères d'un groupe réductif non connexe sur un corps fini.PROPOSITION 1.6.-Soit a un automorphisme quasi-semi-simple d'un groupe réductif connexe, et soit L C P un sous-groupe de Levi d'un sous-groupe parabolique de G. Alors, si la G-orbite (pour l'action par conjugaison) du couple L C P est à-stable, elle contient un couple à-stable.Preuve.-L'hypothèse dit qu'il existe g ç G tel que ^(L, P) = (L, P).Soit T C B un couple formé d'un tore maximal de L et d'un sous-groupe de Borel de P le contenant.Deux tels couples sont conjugués par L, donc il existe l G L tel que ^(T, B) = ^(T, B).D'autre part, a étant quasi-semi-simple, il existe un couple formé d'un tore maximal cr-stable de G et d'un sous-groupe de Borel à-stable le contenant.Ce couple est conjugué à T C B par un élément h G G. On a donc:d'où h~1 0 ' hg~11 e T, donc "hg^ l et h ont même action sur (L, P) ; on en déduit que le couple ^(L, P) est à-stable, ce qui démontre la proposition, car: ^(L, P)) = '^(L, P)) = '^(L, P) = ^-1 \L^ P) = \L^ P).•Nous étudions maintenant les points fixes d'un automorphisme quasi-semi-simple, ce qui généralise l'étude du centraliseur d'un élément semi-simple.Notons que le (iii) de la proposition suivante montre que si un élément d'un groupe réductif est quasi-semi-simple, il l'est dans tout « Borel » le contenant.