Les probabilités cinématiques et dynamiques

de l'É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens)implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/'"78 ï-BACÏÏKLÏEÏL Par exemple, un point matériel étant soumis à l'action (l'une force dont la grandeur est constante et dont la direction varie constamment au hasard, on peut déterminer la probabilité pour que, à l'époque ĉe point matériel occupe une position donnée de l'espace et pour qu'il soit, de plus, animé d'une vitesse dont les composantes suivant les axes sont données.Ce problème de probabilité dynamique est le plus important de notre étude, nous traiterons aussi le cas d'un point matériel qui se meut dans un milieu résistant et celui d'une tige rigide mobile dans un plan.Dans mes précédents travaux, j'ai fait remarquer l'intérêt que présentait la conception de l'unité du calcul des prohabilités.Tous les problèmes comportant de grands nombres doivent être ramenés à une forme unique qui permet à la fois d'apercevoir les propriétés particulières qui les différencient et les caractères généraux qui les unissent.La présente étude contribue à démontrer Futililé de cette unité de conception.Les formules que nous obtiendrons sont asymptotiques, il imporle de le remarquer une fois pour toutes* PROBABILITÉS CINÉMATIQU.ES. Un point géométricfue M est (mimé d'une vitesse F dont Ici grandeur est constante et dont la direction varie constamment au hasard.Le mouvement de M étant rapporté à trois axes rectangulaires passant par sa position initiale^ quelle est la probabilité pour que^ au bout du temps /, le point considéré ait pour coordonnées .T, y^ s ?Suivant notre méthode générale, nous imaginons quatre Joueurs A^, B, G, D et nous faisons correspondre chaque élément de temps a une partie de leur jeu considéré comme continu.Nous supposons que, à chaque partie, les joueurs perdent des sommes respectivement égales aux accroissements de oc^ y, z^ -'x -y-s dans l'élément de temps correspondant.Dans ce qui suit, comme d'ailleurs dans toute la théorie des probabilités continues, les pertes des joueurs" sont considérées comme positives; les gains sont donc exprimés par des nombres négatifs.LES PROBABILITÉS CINÉAIATÎQUES ET DYNAMIQUES.79 Pendant un élément de temps, le point M subit un déplacement vdt dans une direction quelconque toutes les directions ayant égale vraisemblance (c'est, par définition, ce qu'il faut entendre par le terme : direction variant au hasard).Ce déplacement du point M ne dépend en rien des déplacements antérieurs ni de la position actuelle du point.Soient ^dt, Y] dt, ^dt les projections du déplacement du point M pendant l'élément de temps dt\ les valeurs moyennes de '$, Y], ^ sont nulles par raison de symétrie.De l'égalité ^+^-4-^=:ô n déduit, en désignant par VM la valeur moyenne, VM^+VM^-hVMÇ 2 :^2, et comme ces valeurs moyennes sont égales par raison de symétrie; on a VM^= VM-^= VMÇ 2 == ^. 0La valeur moyenne des produits ^T), ^C, Y]*C est nulle par raison de symétrie; à chaque valeur positive de ÇY] correspond une valeur négative de même probabilité.Considérons maintenant le jeu de A à une partie quelconque (la partie d'ordre l, pour fixer les idées), ce joueur perd une somme '^dt indépendante des faits antérieurs du Jeu et de sa perte totale actuelle, son jeu admet donc l'indépendance, cejeu est de plus équitable puisque la valeur moyenne de ^ est nulle.La valeur moyenne des carrés des pertes de A pour la partie considérée est ^dl.La valeur moyenne du produit ^•qc/l des pertes des joueurs A et B pour celte partie est nulle.Le Jeu considéré de A, B, C, D admettant l'indépendance, le problème proposé qui consiste à chercher la probabilité pour que les joueurs A. B, C perdent respectivement les sommes x, y., z en / parties est un cas particulier de celui qui a été résolu dans mon étude sur les 8() L. BACHELIER.probabilités à plusieurs variables ÇAnncdes scientifiques de l'Ecole Normale supérieure, 1910, p. 3 3 G)).La probabilité a pour valeur e ^{{^^^^^{W^'^^^-^^y-'û^}^ \A ( +2(72,;^/3,l-?3%l,3)^7+S(%l,ï^,a-l -^%!h^)• rs -^•2(y<,3%a,l-•?«7ï,:•).rî