Weak and strong solutions to the nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system

We study the nonhomogeneous incompressible Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system in a bounded smooth domain in Rd, d=2,3. This model arises from the Diffuse Interface theory of binary mixtures accounting for density variation, capillarity effects at the interface and partial mixing. We consider the case of initial density away from zero and concentration-depending viscosity with free energy potential equal to either the Landau potential or the Flory-Huggins logarithmic potential. In this setting, we prove the existence of global weak solutions in two and three dimensions, and the existence of strong solutions with bounded and strictly positive density. The strong solutions are local in time in three dimensions and global in time in two dimensions. Dans cet article nous étudions le système de Navier-Stokes-Cahn-Hilliard, correspondant à un fluide non homogène et incompressible, posé dans un domaine borné de Rd, d=2 ou 3. Ce modèle correspond à l'étude d'un mélange binaire de fluides avec une interface diffuse et tient compte des variations de la densité, des effets de capillarité à l'interface et d'un mélange partiel des deux fluides. Nous supposons que la densité initiale est bornée inférieurement par un nombre strictement positif et que la viscosité dépend de la concentration. Nous supposons enfin que le potentiel d'énergie libre est soit le potentiel de Landau, soit le potentiel logarithmique de Flory-Huggins. Dans ce contexte nous prouvons l'existence globale de solutions faibles en dimension deux et trois, et l'existence de solutions fortes avec une densité bornée et strictement positive. Les solutions fortes sont locales en temps en dimension trois et globales en temps en dimension deux.