Generalized Diophantine 𝑚-tuples

For non-zero integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , a generalized Diophantine <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -tuple with property <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Subscript k Baseline left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D_k(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a set of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> positive integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet a 1 comma a 2 comma ellipsis comma a Subscript m Baseline EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{a_1,a_2,\ldots , a_m\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript i Baseline a Subscript j plus n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_ia_j + n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -th power for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to i greater-than j less-than-or-equal-to m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\leq i&gt; j\leq m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript k Baseline left-parenthesis n right-parenthesis colon-equal sup left-brace StartAbsoluteValue upper S EndAbsoluteValue colon upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_k(n)≔\sup \{|S| : S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has property <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Subscript k Baseline left-parenthesis n right-parenthesis right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D_k(n)\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math>