Search for a command to run...
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X 1 comma upper X 2 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X_1,X_2,\ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be independent and identically distributed random variables in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {C}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> chosen from a probability measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and define the random polynomial <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row upper P Subscript n Baseline left-parenthesis z right-parenthesis equals left-parenthesis z minus upper X 1 right-parenthesis ellipsis left-parenthesis z minus upper X Subscript n Baseline right-parenthesis period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{align*} P_n(z)=(z-X_1)\ldots (z-X_n)\,. \end{align*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> We show that for any sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals k left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k = k(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k less-than-or-equal-to log n slash left-parenthesis 5 log log n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \leq \log n / (5 \log \log n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the zeros of the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> th derivative of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are asymptotically distributed according to the same measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This extends work of Kabluchko, which proved the <inline-formula content-type="math/mathml">