Search for a command to run...
The average values of the powers of <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><a:mrow><a:mover accent="true"><a:mrow><a:mo stretchy="false">|</a:mo><a:mover accent="true"><a:mrow><a:mi>q</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mo stretchy="false">→</a:mo></a:mrow></a:mover><a:msup><a:mrow><a:mo stretchy="false">|</a:mo></a:mrow><a:mrow><a:mi>n</a:mi></a:mrow></a:msup></a:mrow><a:mrow><a:mo stretchy="true">¯</a:mo></a:mrow></a:mover><a:mo>≡</a:mo><a:msup><a:mrow><a:mi>q</a:mi></a:mrow><a:mrow><a:mi>n</a:mi></a:mrow></a:msup></a:mrow></a:math> and <i:math xmlns:i="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><i:mrow><i:mover accent="true"><i:mrow><i:mo stretchy="false">|</i:mo><i:mover accent="true"><i:mrow><i:mi>v</i:mi></i:mrow><i:mrow><i:mo stretchy="false">→</i:mo></i:mrow></i:mover><i:msup><i:mrow><i:mo stretchy="false">|</i:mo></i:mrow><i:mrow><i:mi>n</i:mi></i:mrow></i:msup></i:mrow><i:mrow><i:mo stretchy="true">¯</i:mo></i:mrow></i:mover><i:mo>≡</i:mo><i:msup><i:mrow><i:mi>v</i:mi></i:mrow><i:mrow><i:mi>n</i:mi></i:mrow></i:msup></i:mrow></i:math> are commonly used physical quantities, where <q:math xmlns:q="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><q:mover accent="true"><q:mi>q</q:mi><q:mo stretchy="false">→</q:mo></q:mover></q:math> and <u:math xmlns:u="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><u:mover accent="true"><u:mi>v</u:mi><u:mo stretchy="false">→</u:mo></u:mover></u:math> are the three-dimensional momentum and velocity of a quark inside a meson, respectively. For example, the average kinetic energy <y:math xmlns:y="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><y:msubsup><y:mi>μ</y:mi><y:mi>π</y:mi><y:mn>2</y:mn></y:msubsup><y:mo>=</y:mo><y:msup><y:mi>q</y:mi><y:mn>2</y:mn></y:msup></y:math> is an important quantity in the heavy quark effective theory, and the expansion of <ab:math xmlns:ab="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ab:msup><ab:mi>v</ab:mi><ab:mi>n</ab:mi></ab:msup></ab:math> is commonly used in the nonrelativistic quantum chromodynamics. In this paper, based on the instantaneous Bethe-Salpeter equation method, we calculate the average values <cb:math xmlns:cb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><cb:msup><cb:mi>q</cb:mi><cb:mi>n</cb:mi></cb:msup></cb:math> and <eb:math xmlns:eb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><eb:msup><eb:mi>v</eb:mi><eb:mi>n</eb:mi></eb:msup></eb:math> (<gb:math xmlns:gb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><gb:mi>n</gb:mi><gb:mo>=</gb:mo><gb:mn>1</gb:mn></gb:math>, 2, 3, 4) of a heavy quark inside <ib:math xmlns:ib="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ib:mi>S</ib:mi></ib:math> wave and <kb:math xmlns:kb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><kb:mi>P</kb:mi></kb:math> wave heavy-light mesons. We obtain the kinetic energy <mb:math xmlns:mb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mb:mrow><mb:msubsup><mb:mrow><mb:mi>μ</mb:mi></mb:mrow><mb:mrow><mb:mi>π</mb:mi></mb:mrow><mb:mn>2</mb:mn></mb:msubsup><mb:mo>=</mb:mo><mb:mn>0.455</mb:mn><mb:mtext> </mb:mtext><mb:mtext> </mb:mtext><mb:msup><mb:mi>GeV</mb:mi><mb:mn>2</mb:mn></mb:msup></mb:mrow></mb:math> for the <ob:math xmlns:ob="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ob:mi>B</ob:mi></ob:math> meson, which is consistent with the experimental result <qb:math xmlns:qb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><qb:mrow><qb:mn>0.464</qb:mn><qb:mo>±</qb:mo><qb:mn>0.076</qb:mn><qb:mtext> </qb:mtext><qb:mtext> </qb:mtext><qb:msup><qb:mi>GeV</qb:mi><qb:mn>2</qb:mn></qb:msup></qb:mrow></qb:math>. For the <sb:math xmlns:sb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><sb:msub><sb:mi>B</sb:mi><sb:mi>s</sb:mi></sb:msub></sb:math>, <ub:math xmlns:ub="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ub:mi>D</ub:mi></ub:math>, and <wb:math xmlns:wb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><wb:msub><wb:mi>D</wb:mi><wb:mi>s</wb:mi></wb:msub></wb:math> mesons, the <yb:math xmlns:yb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><yb:msubsup><yb:mi>μ</yb:mi><yb:mi>π</yb:mi><yb:mn>2</yb:mn></yb:msubsup></yb:math> are 0.530, 0.317, and <ac:math xmlns:ac="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ac:mrow><ac:mn>0.369</ac:mn><ac:mtext> </ac:mtext><ac:mtext> </ac:mtext><ac:msup><ac:mi>GeV</ac:mi><ac:mn>2</ac:mn></ac:msup></ac:mrow></ac:math>, respectively, and <cc:math xmlns:cc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><cc:msup><cc:mi>v</cc:mi><cc:mn>2</cc:mn></cc:msup><cc:mo>=</cc:mo><cc:mn>0.0185</cc:mn></cc:math>, 0.0215, 0.121, and 0.140 for <ec:math xmlns:ec="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ec:mi>B</ec:mi></ec:math>, <gc:math xmlns:gc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><gc:msub><gc:mi>B</gc:mi><gc:mi>s</gc:mi></gc:msub></gc:math>, <ic:math xmlns:ic="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ic:mi>D</ic:mi></ic:math>, and <kc:math xmlns:kc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><kc:msub><kc:mi>D</kc:mi><kc:mi>s</kc:mi></kc:msub></kc:math>, respectively. We obtain some relationships, for example, <mc:math xmlns:mc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mc:mrow><mc:msubsup><mc:mrow><mc:mi>q</mc:mi></mc:mrow><mc:mrow><mc:msup><mc:mrow><mc:mn>0</mc:mn></mc:mrow><mc:mrow><mc:mo>−</mc:mo></mc:mrow></mc:msup></mc:mrow><mc:mrow><mc:mi>n</mc:mi></mc:mrow></mc:msubsup><mc:mo stretchy="false">(</mc:mo><mc:mi>m</mc:mi><mc:mi>S</mc:mi><mc:mo stretchy="false">)</mc:mo><mc:mo>≈</mc:mo><mc:msubsup><mc:mrow><mc:mi>q</mc:mi></mc:mrow><mc:mrow><mc:msup><mc:mrow><mc:mn>1</mc:mn></mc:mrow><mc:mrow><mc:mo>−</mc:mo></mc:mrow></mc:msup></mc:mrow><mc:mrow><mc:mi>n</mc:mi></mc:mrow></mc:msubsup><mc:mo stretchy="false">(</mc:mo><mc:mi>m</mc:mi><mc:mi>S</mc:mi><mc:mo stretchy="false">)</mc:mo></mc:mrow></mc:math>, <sc:math xmlns:sc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><sc:mrow><sc:msubsup><sc:mrow><sc:mi>q</sc:mi></sc:mrow><sc:mrow><sc:msup><sc:mrow><sc:mn>0</sc:mn></sc:mrow><sc:mrow><sc:mo>+</sc:mo></sc:mrow></sc:msup></sc:mrow><sc:mrow><sc:mi>n</sc:mi></sc:mrow></sc:msubsup><sc:mo stretchy="false">(</sc:mo><sc:mi>m</sc:mi><sc:mi>P</sc:mi><sc:mo stretchy="false">)</sc:mo><sc:mo>≈</sc:mo><sc:msubsup><sc:mrow><sc:mi>q</sc:mi></sc:mrow><sc:mrow><sc:msup><sc:mrow><sc:mn>1</sc:mn></sc:mrow><sc:mrow><sc:mo>+</sc:mo><sc:mo>′</sc:mo></sc:mrow></sc:msup></sc:mrow><sc:mrow><sc:mi>n</sc:mi></sc:mrow></sc:msubsup><sc:mo stretchy="false">(</sc:mo><sc:mi>m</sc:mi><sc:msup><sc:mrow><sc:mi>P</sc:mi></sc:mrow><sc:mrow><sc:mo>′</sc:mo></sc:mrow></sc:msup><sc:mo stretchy="false">)</sc:mo><sc:mo>></sc:mo><sc:msubsup><sc:mrow><sc:mi>q</sc:mi></sc:mrow><sc:mrow><sc:msup><sc:mrow><sc:mn>1</sc:mn></sc:mrow><sc:mrow><sc:mo>+</sc:mo></sc:mrow></sc:msup></sc:mrow><sc:mrow><sc:mi>n</sc:mi></sc:mrow></sc:msubsup><sc:mo stretchy="false">(</sc:mo><sc:mi>m</sc:mi><sc:mi>P</sc:mi><sc:mo stretchy="false">)</sc:mo><sc:mo>≈</sc:mo><sc:msubsup><sc:mrow><sc:mi>q</sc:mi></sc:mrow><sc:mrow><sc:msup><sc:mrow><sc:mn>2</sc:mn></sc:mrow><sc:mrow><sc:mo>+</sc:mo></sc:mrow></sc:msup></sc:mrow><sc:mrow><sc:mi>n</sc:mi></sc:mrow></sc:msubsup><sc:mo stretchy="false">(</sc:mo><sc:mi>m</sc:mi><sc:mi>P</sc:mi><sc:mo stretchy="false">)</sc:mo></sc:mrow></sc:math>, and <cd:math xmlns:cd="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><cd:mrow><cd:msup><cd:mrow><cd:mi>q</cd:mi></cd:mrow><cd:mrow><cd:mi>n</cd:mi></cd:mrow></cd:msup><cd:mo stretchy="false">(</cd:mo><cd:mi>m</cd:mi><cd:mi>S</cd:mi><cd:mo stretchy="false">)</cd:mo><cd:mo><</cd:mo><cd:msup><cd:mrow><cd:mi>q</cd:mi></cd:mrow><cd:mrow><cd:mi>n</cd:mi></cd:mrow></cd:msup><cd:mo stretchy="false">(</cd:mo><cd:mi>m</cd:mi><cd:mi>P</cd:mi><cd:mo stretchy="false">)</cd:mo></cd:mrow></cd:math> (<id:math xmlns:id="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><id:mi>m</id:mi><id:mo>=</id:mo><id:mn>1</id:mn></id:math>, 2, 3), etc. Published by the American Physical Society 2024
Published in: Physical review. D/Physical review. D.
Volume 110, Issue 7