Restricted spaces of holomorphic sections vanishing along subvarieties

Abstract Let X be a compact normal complex space of dimension n and L be a holomorphic line bundle on X . Suppose that $$\Sigma =(\Sigma _1,\ldots ,\Sigma _\ell )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is an $$\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> -tuple of distinct irreducible proper analytic subsets of X , $$\tau =(\tau _1,\ldots ,\tau _\ell )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is an $$\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> -tuple of positive real numbers, and let $$H^0_0(X,L^p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> be the space of holomorphic sections of $$L^p:=L^{\otimes p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> that vanish to order at least $$\tau _jp$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> along $$\Sigma _j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $$1\le j\le \ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . If $$Y\subset X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is an irreducible analytic subset of dimension m , we consider the space $$H^0_0 (X|Y, L^p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of holomorphic sections of $$L^p|_Y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> that extend to global holomorphic sections in $$H^0_0(X,L^p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Assuming that the triplet $$(L,\Sigma ,\tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:m