Search for a command to run...
Abstract The sum $$S(h,k):=\sum _{j=1}^{k-1}(-1)^{j+1+[hj/k]}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> appears in the modular transformation formulae of the classical theta function $$\vartheta _3(z)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϑ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The double sum $$S(k):= \sum _{h=1}^{k-1}S(h,k)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> has a remarkable distribution of values. Although properties for S ( k ) and a related sum can be established, several interesting conjectures are open.