Regularizing effect for a nonlocal maxwell–schrödinger system

Abstract In this paper we prove existence and regularity of weak solutions for the following system $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} &amp; -\text{ div }\Bigg (\bigg (\Vert \nabla u\Vert ^{p}_{L^{p}}+\Vert \nabla v\Vert ^{p}_{L^{p}}\bigg )|\nabla u|^{p-2}\nabla u\Bigg ) + g(x,u,v)=f \ \ \ \text{ in } \ \Omega ; \\ &amp; -\text{ div }\Bigg (\bigg (\Vert \nabla u\Vert ^{p}_{L^{p}}+\Vert \nabla v\Vert ^{p}_{L^{p}}\bigg )|\nabla v|^{p-2}\nabla v\Bigg ) = h(x,u,v) \ \ \ \ \text{ in } \ \Omega ; \\ &amp; u=v=0 \ \text{ on } \ \partial \Omega . \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo>