Bifurcation for a Three-Component Competition System

Abstract We investigate positive solutions for three-component competition-diffusion systems within $$B_1\subset \mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> : $$\begin{aligned}\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u_1=\mu u_{1}(1-u_1)-\beta u_1(u_2+ u_3),&amp; \text {in}\ B_1,\\ -\Delta u_2=\mu u_{2}(1-u_2)-\beta u_2(u_{1} + u_3),&amp; \text {in}\ B_1,\\ -\Delta u_3=\gamma u_{3}(1-u_3)-\beta u_3(u_{1}+u_2),&amp; \text {in}\ B_1,\\ \frac{\partial u_{1}}{\partial n}=\frac{\partial u_{2}}{\partial n}=\frac{\partial u_{3}}{\partial n}=0, &amp; \text {on} \partial B_1,\\ \end{array}\right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn>