L’interaction entre les processus de sauts renforcés par les sites et les modèles sigma hyperboliques supersymétriques

Ce mémoire d'habilitation explore la transition d'Anderson à la croisée des probabilités et de la physique mathématique. Il s'articule autour d'une correspondance exacte entre trois objets fondamentaux : le modèle sigma supersymétrique hyperbolique \(H^{2|2}\), le processus de saut renforcé sur les sommets (VRJP) et l'opérateur de Schrödinger aléatoire \(H_\beta\). Cette équivalence relie la théorie des champs, les marches aléatoires en auto-interaction et la théorie spectrale. En exploitant le lien entre les propriétés dynamiques du processus avec renforcement et les caractéristiques spectrales statiques de l'opérateur aléatoire, nous établissons des résultats de localisation et de délocalisation. Ce cadre est ensuite étendu à la dynamique matricielle, aux isomorphismes de soupes de boucles, à l'analyse du groupe de renormalisation sur les réseaux hiérarchiques, ainsi qu'à la construction de nouvelles lois de probabilité sur les graphes.