Surfaces in Robertson-Walker Space-Times with Positive Relative Nullity

Abstract In this article, we study space-like and time-like surfaces in a Robertson-Walker space-time, denoted by $$L^4_1(f,c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , having positive relative nullity. First, we give the necessary and sufficient conditions for such space-like and time-like surfaces in $$L^4_1(f,c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Then, we obtain the local classification theorems for space-like and time-like surfaces in $$L^4_1(f,0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with positive relative nullity, where the second factor is 3-dimensional Euclidean space. Finally, we consider the space-like and time-like surfaces in $$\mathbb {E}^1_1\times \mathbb {S}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathbb {E}^1_1\times \mathbb {H}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with positive relative nullity. These are the special spaces of $$L^4_1(f,c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> when the warping function f is a constant function, with $$c=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for $$\mathbb {E}^1_1\times \mathbb {S}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$c=-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for $$\mathbb {E}^1_1\times \mathbb {H}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml: