Existence and Concentration of Positive Solutions for the Planar Choquard-Type Double-Phase Problems With Critical Exponential Growth

In this article, we consider the following double-phase problems with Choquard-type nonlinearity: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width=".1em"/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll">