Tensor products of measurable Banach bundles

Abstract We study injective and projective tensor products of measurable Banach bundles. More precisely, given two separable measurable Banach bundles $$\textbf{E}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math> , $$\textbf{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> defined over a probability space $$(\textrm{X},\Sigma ,\mathfrak {m})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>X</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , we construct two measurable Banach bundles $$\textbf{E}\hat{\otimes }_\varepsilon \textbf{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$\textbf{E}\hat{\otimes }_\pi \textbf{F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> over $$(\textrm{X},\Sigma ,\mathfrak {m})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>X</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , such that $$\Gamma (\textbf{E}\hat{\otimes }_\varepsilon \textbf{F})\cong \Gamma (\textbf{E})\hat{\otimes }_\varepsilon \Gamma (\textbf{F})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$\Gamma (\textbf{E}\hat{\otimes }_\pi \textbf{F})\cong \Gamma (\textbf{E})\hat{\otimes }_\pi \Gamma (\textbf{F})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\textbf{G}\mapsto \Gamma (\textbf{G})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the map assigning to a measurable Banach bundle $$\textbf{G}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> </jats:alt