Asymptotic Estimates for the Sequences of the Operators on the Space of Multivariate Periodic Functions

Abstract In the paper we prove asymptotic estimates for sequences of linear positive operators on the space $$C_{2\pi }\left( \mathbb {R}^{k}\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> . A sample result: Let $$K_{n}:\mathbb {R}\rightarrow \left[ 0,\infty \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> be a sequence of even continuous $$2\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -periodic functions such that $$\frac{1}{ 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }K_{n}\left( t\right) dt=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all $$n\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and let $$V_{n}:C_{2\pi }\left( \mathbb {R}^{k}\right) \rightarrow C_{2\pi }\left( \mathbb {R}^{k}\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> be the operator defined by $$\begin{aligned} &amp; V_{n}\left( f\right) \left( x_{1},...,x_{k}\right) =\frac{1}{\left( 2\pi \right) ^{k}}\int _{\left[ -\pi ,\pi \right] ^{k}}f\left( x_{1}-t_{1},...,x_{k}-t_{k}\right) \\ &amp; \quad K_{n}\left( t_{1}\right) \cdot \cdot \cdot K_{n}\left( t_{k}\right) dt_{1}\cdot \cdot \cdot dt_{k}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mi>k</mml:mi>