The Neighbor Degree Sum — Distance Index of the Graph

In this paper, we introduce three novel topological indices for a connected undirected graph G without loops or multiple edges. The indices are based on the sum of neighbor degrees and the distances between vertices, offering an enhancement over classical degree-based graph invariants. For each vertex, the neighbor degree is defined as the sum of the degrees of its adjacent vertices. Using this quantity together with pairwise distances, we define: the neighbor Schultz index NDD(G), which sums the neighbor degrees of each vertex pair multiplied by their distance; the neighbor Gutman index NZZ(G), where the sum of neighbor degrees is replaced by their product; and the neighbor Wiener–Albertson index NWA(G), which sums the absolute difference of neighbor degrees multiplied by the distance. Explicit formulas are derived for several standard graph families: complete graphs, complete bipartite graphs, stars, and wheels. The neighbor Wiener–Albertson index vanishes for regular graphs, making it a natural measure of graph irregularity. Sharp bounds for the new indices are established in terms of the number of vertices, diameter, minimum and maximum degrees, and the corresponding neighbor-degree parameters. It is shown, for instance, that the values of these indices for any connected graph lie between bounds expressed solely through the number of vertices and the extreme neighbor degrees. We conclude by outlining future research directions, including the application of these indices to chemical graphs, cactus graphs, cactus chains, Husimi trees, and their behavior in domination-related problems В статье вводятся три новых топологических индекса для связных неориентированных графов без петель и кратных рёбер. Эти индексы основаны на сумме степеней соседей вершин и расстояниях между ними. Они представляют собой модификации классических индексов, учитывающих степени вершин, и позволяют более точно различать структуры графов. Для каждой вершины графа определяется её «соседская степень» — сумма степеней всех её смежных вершин. На основе этой величины и расстояний между вершинами авторы предлагают три индекса: индекс Шульца соседей, где для каждой пары вершин складываются их соседские степени и умножаются на расстояние; индекс Гутмана соседей, где вместо суммы используется произведение соседских степеней; индекс Винера–Альбертсона соседей, где учитывается модуль разности соседских степеней, умноженный на расстояние. Для каждого из индексов получены явные формулы для стандартных классов графов: полных графов, полных двудольных графов, звёзд и колёс. Показано, что для регулярных графов индекс Винера–Альбертсона обращается в ноль, что позволяет использовать его как меру нерегулярности графа. Установлены двусторонние границы новых индексов через число вершин, диаметр, минимальную и максимальную степени, а также через аналогичные характеристики соседских степеней. В частности, доказано, что для любого связного графа значения индексов лежат между величинами, зависящими от числа вершин и минимальных и максимальных значений соседских степеней. В заключение приведены возможные направления дальнейших исследований: применение новых индексов в химической теории графов, изучение их поведения на кактусах, цепочках кактусов и графах Хусими, а также связь с задачами доминирования.