On Linear Pursuit-Evasion Game Problems with GGr-Constraints on Controls of Players

This article investigates a differential game of pursuit-evasion for linear motion dynamics of two players, a pursuer and an evader. The pursuer’s control is subject to a geometric constraint (its Euclidean norm does not exceed a given constant α), while the evader’s control satisfies a Gr¨onwall-type constraint that implies an exponential upper bound γe^(lt) on its norm. To solve the pursuit problem, a parallel approach strategy (Π-strategy) for the pursuer is constructed, which depends on the current evader’s control. It is shown that if α>γ and an additional inequality involving the initial distance between the players holds, then there exists a guaranteed capture time T∗, and the ΠΠ-strategy ensures interception no later than this time. For the evasion problem, an admissible control function for the evader is defined, directed opposite to the initial difference vector. It is proved that if α≤γ, the evader can avoid capture for all time, keeping the distance strictly positive. The obtained conditions are sharp within the considered classes of constraints. These results extend classical approaches to differential games with mixed-type constraints and have potential applications in robotics and motion control. В данной статье исследуется дифференциальная игра преследования-уклонения для линейной динамики движения двух игроков — преследователя и уклоняющегося. Предполагается, что управление преследователя подчинено геометрическому ограничению (максимальная норма не превышает заданной константы α), а управление уклоняющегося – ограничению типа Гронуолла, которое позволяет оценить рост нормы управления экспоненциальной функцией γe^(lt). Для решения задачи преследования построена параллельная стратегия сближения (Π-стратегия) преследователя, зависящая от текущего управления убегающего. Показано, что если α>γ и выполнено некоторое неравенство на начальное расстояние между игроками, то существует гарантированное время поимки T∗, и Π-стратегия обеспечивает встречу не позднее этого момента. Для задачи уклонения предложена специальная допустимая функция управления уклоняющегося, направленная противоположно начальному вектору разности позиций. Доказано, что если α≤γ, то уклоняющийся может избежать захвата на всём бесконечном временном интервале, причём расстояние между игроками остаётся положительным. Полученные условия являются точными в рамках рассмотренных ограничений. Результаты обобщают известные подходы к дифференциальным играм с ограничениями разных типов и могут быть применены в задачах робототехники и управления движением.